香农公式是通信理论中用于计算信道容量的重要公式，由信息论奠基人克劳德·香农（Claude Shannon）提出。它描述了在给定信道带宽和信噪比条件下，通信系统能够实现的最大可靠信息传输速率。
实际通信系统需要在频谱资源、发射功率、传输速率和接收可靠性之间作出选择。例如，为什么较高的信噪比能够支持更高阶的QAM调制，为什么LoRa等低速无线通信技术能够在较低信噪比下工作，以及为什么重复发送数据有时能够改善弱信号接收，都与通信系统的容量约束有关。
香农公式提供了分析这些问题的理论基础，但它并不直接规定某一种调制方式、编码算法或实际设备能够达到的速率。理论容量与工程实现之间还存在编码损耗、协议开销、干扰、接收机性能等差异。
道容量如何由带宽与信噪比决定
对于带宽受限的加性高斯白噪声信道（AWGN），香农—哈特利公式可表示为：
C = B × log2(1 + S/N)
各变量含义如下：
- C：信道容量，单位为bit/s；
- B：信道带宽，单位为Hz；
- S：接收端信号的平均功率，单位为W；
- N：信道带宽内的平均噪声功率，单位为W；
- S/N：信噪比，使用线性功率比；
- log2：以2为底的对数。
这里需要特别区分线性信噪比和分贝表示。实际通信测试通常使用dB表示SNR，但香农公式中的S/N不能直接代入dB数值。
二者的转换关系为：
SNR(dB) = 10 × log10(S/N)
S/N = 10SNR(dB)/10
例如，一个信道带宽为3000Hz，接收信噪比为30dB。首先将30dB换算为1000的线性功率比，再代入香农公式：
C = 3000 × log2(1 + 1000) ≈ 29900bit/s
结果约为29.9kbit/s，表示在这一理想信道模型下，可实现可靠信息传输的理论容量上限。
信道容量不等于某台设备的标称物理层速率，也不等于用户最终获得的有效业务吞吐量。实际系统还需要为同步、纠错编码、控制信令和协议封装等内容分配资源。
香农定理的重要结论是：对于符合模型条件的信道，当信息速率低于容量时，理论上可以通过适当编码，使差错概率随着编码长度增加而趋近于零。但这不意味着任意短数据包或任意编码方案都能立即达到这一极限。
增加带宽为什么存在容量极限
香农公式表明，当信噪比保持不变时，信道容量与带宽成正比。带宽扩大后，系统能够承载更多信息。
但这一结论有一个重要前提：扩大带宽的同时，信噪比仍然保持不变。
在实际无线通信中，如果接收信号总功率保持不变，同时噪声近似为白噪声，那么接收带宽越宽，进入接收机的总噪声功率通常也越大。
设接收信号功率为P，白噪声功率谱密度为N0，则带宽B内的噪声功率可表示为：
N = N0 × B
代入香农公式：
C = B × log2(1 + P/(N0B))
由此可以看出，当B增加时，公式前面的带宽因子变大，但括号内的信噪比却会降低。因此，容量增长会逐渐变缓。
当B趋近于无穷大，并且P和N0保持不变时：
lim(B→∞) C = P/(N0ln2) ≈ 1.44P/N0
也就是说，在固定总接收信号功率和白噪声功率谱密度的条件下，单纯无限扩大带宽，不能让信道容量无限增长。
图中的横轴F代表带宽，纵轴为信道容量。容量先随带宽增加而提升，随后逐渐接近有限的理论极限。
这也说明“增加带宽”和“提升信噪比”之间的关系需要结合具体约束分析。如果保持接收信噪比不变，扩大带宽可以近似按比例提高容量；如果保持接收总信号功率不变，则必须同时考虑带宽增加引入的噪声。
带宽、时间和信噪比之间的关系还可以通过特定信道模型进行几何化描述。
这类三维示意图可以帮助理解频率、时间和信号质量都是通信系统设计中需要考虑的资源，但不能把图示直接当成三个物理量可以无条件互换的数学定律。
扩频怎样利用带宽改善弱信号通信
扩频通信通常让发射信号占用比原始信息速率所需带宽更宽的频谱，并通过接收端对应的解扩、相关检测或其他匹配处理恢复信息。
例如直接序列扩频（DSSS）可以将信息信号与伪随机序列结合，使发射频谱展宽。接收端使用相应序列进行相关处理后，期望信号得到恢复，而某些与扩频序列不相关的窄带干扰则会受到抑制。
这种效果常用处理增益来描述。对于理想化的直接序列扩频系统，可以用扩频带宽与原始信息速率相关带宽之比近似理解处理增益。
Gp ≈ Bspread/Bdata
其中Bspread是扩频后的信号带宽，Bdata是与原始信息速率相关的参考带宽。这一关系只是特定扩频机制下的近似描述，实际抗干扰能力还与扩频序列、接收算法、同步精度及干扰类型有关。
因此，“扩频改善弱信号接收”和“扩频直接增加香农信道容量”不是同一个概念。
扩频系统可以利用更多频谱资源、较低的信息速率、相关检测和编码冗余来改善可靠性，却不能突破相同信道条件下的信息论容量极限。
LoRa使用Chirp扩频调制（CSS），其低速长距离通信能力与扩频因子、码元持续时间、接收机检测机制和纠错编码等因素有关。
当扩频因子提高时，LoRa码元持续时间通常增加，数据传输速率相应降低，而接收机可能在更低的输入信噪比下完成解调。这体现的是传输速率、接收灵敏度和时间频谱资源之间的工程权衡。
有关Chirp信号的产生、频率变化和调制检测，可以参考LoRa技术核心——Chirp调制，这里不再展开其具体调制实现。
高阶QAM怎样利用更高的信噪比
除了增加带宽，通信系统还可以通过提高调制阶数，在每个码元中携带更多比特，从而提高频谱利用率。
正交幅度调制（QAM）通过组合不同的同相和正交分量，在星座图中形成多个可区分的信号点。
对于M阶QAM，每个码元可以映射的比特数为：
k = log2M
几种常见调制方式如下：
| 调制方式 | 星座点数量 | 每码元映射比特数 |
|---|---|---|
| 4QAM | 4 | 2bit |
| 16QAM | 16 | 4bit |
| 64QAM | 64 | 6bit |
| 256QAM | 256 | 8bit |
| 1024QAM | 1024 | 10bit |
在码元速率相同的情况下，提高QAM阶数能够增加每个码元携带的比特数，但星座点会变得更加密集，接收机需要更准确地区分相邻信号状态。
如果接收信噪比不足，或者存在明显的相位噪声、非线性失真及其他干扰，高阶QAM就可能出现较高误码率。
因此，高阶调制通常要求更好的信道质量，并需要配合适当的纠错编码和链路自适应机制。
图中展示了不同QAM阶数的信号星座分布。随着星座点数量增加，每个码元能够携带更多比特，但相同平均信号功率下，相邻星座点之间的距离通常会缩小，因而对噪声和接收误差更加敏感。
香农公式限定的是信道可可靠传输的信息速率，并不直接规定必须使用4QAM、64QAM或其他特定调制方式。调制阶数提高以后，如果没有足够的信噪比支持，也无法获得相应的可靠信息吞吐量。
在实际系统中，发送端还可能增加纠错冗余，所以每码元映射的比特数不等于每码元最终承载的有效用户数据比特数。
时间、带宽与重复传输怎样权衡
当无线信道质量较差时，系统除了增加带宽或改变调制方式，还可以延长发送时间、降低信息速率，或者对同一信息进行重复发送和联合检测。
这些方式通常意味着使用更多时间资源，换取更可靠的接收结果。
重复发送与接收端累积
对于可以进行相干或非相干合并的重复信号，接收机可以利用多次观测提高判决可靠性。
在理想且噪声独立的条件下，重复观测和适当合并能够获得处理增益。但实际增益仍取决于噪声相关性、相位同步、信道变化以及接收算法，不能认为重复次数增加多少倍，通信质量就必然提高相同倍数。
NB-IoT等低速率物联网系统可以通过重复传输改善部分弱覆盖环境下的接收能力，但代价是占用更多传输时间、无线资源和终端能量。
图中的信号与噪声随时间变化关系属于特定累积处理的示意模型，并不表示所有通信系统的接收信号物理功率都会随着时间持续线性增加。
延长码元时间与降低信息速率
在其他条件适当的情况下，延长单个码元的持续时间，可以让接收机有更多时间完成相关积分、能量积累或判决处理。
但相同时间内能够发送的码元数量也会减少，因而通常会降低数据速率。
例如一些窄带或低功耗通信系统，不追求每秒传输大量数据，而是希望在较低功率、较远距离或较复杂的传播环境下，可靠传输少量状态信息。
这与高速无线网络使用较大带宽和高阶调制提高吞吐量的设计目标不同。
时间与频带并非无条件互换
信号持续时间与频谱占用之间还存在时频特性约束。对于特定波形，如果希望在更短时间内发送相同的信息，可能需要更大的码元速率和信号带宽；而使用较长时间传输较少数据，则可能允许较窄的信号频带。
不过，通信系统不能简单根据“时间增加一倍，带宽就一定减少一半”来设计。实际关系还受到脉冲成形、调制、编码、同步和波形带宽定义等条件影响。
香农公式给出的是单位时间内可靠信息传输速率的理论限制。对于在有限时间T内传输的信息量，在信道条件保持不变的理想情况下，可以用C×T估计相应时间内的容量上限，但不能据此把重复传输、扩频和时间带宽积都视为同一物理机制。
香农公式在通信系统设计中有哪些边界
香农公式适合评估给定带宽、信噪比和噪声模型下的理论信息传输能力，也适合帮助工程人员理解不同设计方案之间的取舍，但需要注意几个边界。
首先，经典的C = B×log2(1+S/N)对应理想的带限高斯白噪声信道。真实无线系统还可能存在多径衰落、同频干扰、频率选择性衰落和非高斯噪声，因此不能把所有实际无线链路都直接等效成一个固定SNR的AWGN信道。
其次，信道容量是信息论上限，不是设备承诺达到的速率。实际传输还会受到调制阶数、纠错编码率、导频开销、帧结构、协议封装以及硬件实现损耗等因素影响。
另外，信道容量也不能直接代表系统覆盖距离。覆盖距离还与发射功率、天线增益、传播损耗、接收机噪声系数、干扰水平和实际解调门限有关。
对于LoRa、Wi-Fi、蜂窝通信及其他无线系统，香农公式提供的是共同的理论约束，但各类技术接近理论上限的方式并不相同。
例如高吞吐量系统会结合较大带宽、高阶调制和链路自适应，提高单位时间传输的信息量；低速率物联网系统则可能采用更长码元、重复传输或扩频调制，优先考虑覆盖和接收可靠性。
这两种设计方向都没有突破香农定理，而是在既定频谱、信号功率、传输时间和信道条件下选择不同的工程工作点。
香农公式最终回答的是通信设计中一个基础问题：在给定信道条件下，最多能够可靠传输多少信息。 明确这个理论上限以后，才能进一步判断提高带宽、改善信噪比、改变调制方式或增加时间冗余是否具有实际收益。
针对LoRa系统中扩频因子、编码率、信噪比与实际接收灵敏度的定量关系，可以继续查看LoRa调制解调原理；对于奈奎斯特采样定理与信号数字化之间的区别，可参考什么是模数转换。
